Las simetrías ocultas de la tabla de multiplicar.

Zoheir Barka , de Laghouat en Argelia, es un matemático aficionado y autodidacta. Tiene una maestría en lengua francesa de la Universidad Laghouat y actualmente es profesor de francés en una escuela primaria.

En este artículo exploramos algunas de las simetrías que se esconden dentro de la tabla de multiplicación de números enteros positivos.

La idea de Zoheir Barka es crear diferentes patrones geométricos planos de color sobre la tabla de multiplicar, de tamaños variables, asociando colores a los múltiplos de algunos números. Por lo tanto, el punto de partida es una tabla de multiplicar cuadrada o rectangular, con un cierto número de filas y columnas, en función de las necesidades estéticas del patrón que se quiere realizar.

Los patrones serán diferentes de acuerdo a la base que se use. Trabajar en base 2 (números binarios) ofrece patrones diferentes al igual que trabajar en base 16 (hexadecimales).

En una tabla de multiplicar en una base, los múltiplos de la base siempre se encuentran en una columna. Así si tenemos una base 7 sería extremadamente sencillo encontrar múltiplos de base 7, mientras que en la tabla de base 10 tal vez no se encuentre ningún patrón. Interesante serían tal vez las bases de números primos y las bases de números compuestos. Creo que en base 6 se notarían muy fácilmente los múltiplos de 2 y 3 pues 6 = 23, así como en base 10 se pueden encontrar muy fácilmente los múltiplos de 2 y 5 pues 10 = 25.

Comencemos con la tabla de multiplicación estándar. La siguiente tabla contiene los números del 1 al 10 en la primera fila y la primera columna. Cualquier otro cuadrado contiene el producto del primer número en su fila y el primer número en su columna.

Agregaremos una fila de 0´s en la parte superior y una columna de 0´s a la izquierda. Esto todavía da una tabla consistente: la primera fila y la columna contienen múltiplos de 0 , la segunda fila y columna contienen múltiplos de 1, la tercera fila y columna contienen múltiplos de 2, etc., y proporcionará un marco agradable para nuestros patrones.

A continuación, colorearemos los cuadrados de la tabla de multiplicar que corresponden a múltiplos de un número. k para varios valores de k. Y descubriremos algunas hermosas simetrías.

Múltiplos individuales

Comenzamos con k=2 : asignamos el color azul a cada cuadrado en la tabla de multiplicar que es un múltiplo de 2. (El número 0 es un múltiplo de 2 así que todo el 0 los cuadrados son azules)

Aquí hemos extendido un poco la tabla para que funcione hasta el número 15 en dirección horizontal. De hecho, dado que la tabla de multiplicación completa de enteros positivos es infinita en dos lados, continuaremos ajustando las dimensiones de las tablas a continuación para mostrar los patrones emergentes con mayor claridad.

Tenga en cuenta que todo el patrón anterior se puede reconstruir utilizando el bloque de construcción fundamental:

El bloque de construcción fundamental contiene k x k = 2 x 2= 4 celdas de la tabla de multiplicar. Los cuadrados definidos por las celdas blancas en el patrón consisten en:

Células.

A continuación hay dos imágenes más en las que los múltiplos de un número k han sido de color azul ¿Puedes decir cuál es el valor de k es en cada caso? ¿Puedes decir cuáles son los bloques de construcción fundamentales, cuántas celdas contienen y cuántas celdas forman los cuadrados definidos por las celdas blancas? Puedes publicar tus respuestas en el campo de comentarios.

Múltiples múltiplos de números consecutivos

Un patrón más interesante emerge si usamos múltiples múltiplos y, en correspondencia con ellos, múltiples colores. En la siguiente figura, los números que son múltiplos de 2 son de color rojo, y los que son múltiplos de 3 son de color naranja (con el naranja teniendo prioridad sobre el rojo en el caso de múltiplos de ambos 2 y 3 es decir, múltiplos de 6)
Esto da el siguiente patrón.

Tenga en cuenta que esta vez nuestros bloques de construcción fundamentales consisten en 6 x 6 = 36 pequeños cuadrados, lo cual tiene sentido, porque 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 3. La simetría surge de copias repetidas de un cuadrado 5 x 5 con una bonita simetría cuádruple.

La siguiente figura lleva esto un paso más allá, asignando rojo a los números que son múltiplos de 2, naranja a números que son múltiplos de 3 y amarillo a números que son múltiplos de 4. Si una celda es un múltiplo de dos de estos números (p. Ej. 6 = 2 x 3), entonces se le asignará el color del mayor de estos dos números (naranja en el ejemplo). Nos atendremos a esta convención por el resto de este artículo.

Esta vez, nuestros bloques de construcción fundamentales contienen 12 x 12 células, lo que nuevamente tiene sentido, dado que 12 es el mínimo común múltiplo de 2,3 y 4. La simetría surge de copias repetidas de un cuadrado 11 x 11, que contiene nueve pequeños cuadrados 3 x 3 que juntos crean una bonita simetría cuádruple.

Podemos seguir jugando este juego indefinidamente. Las siguientes cuatro figuras usan múltiplos de cuatro, cinco, seis y siete números consecutivos respectivamente, y cuatro, cinco, seis y siete colores respectivamente. ¿Qué patrones puedes discernir? ¿Puedes encontrar algún eje de simetría (reflexiva)? ¿Cuál debería ser el tamaño de los bloques de construcción fundamentales (repetitivos) de simetría en cada caso? Recuerda que puedes publicar tus respuestas en el campo de comentarios.

Múltiplos de números no consecutivos

A continuación, usamos algunos valores no consecutivos de k . La siguiente figura usa azul para números que son múltiplos de 6 y verde para números que son múltiplos de 9.

Los bloques de construcción fundamentales ahora consistirán en pequeños cuadrados de 18 x 18 = 324, como 18 es el mínimo común múltiplo de 6 y 9. Todavía las simetrías adicionales dentro de los nueve cuadrados 5 x 5 que componen la repetida de los cuadrados 17 x 17. ¿Puedes encontrar explicaciones matemáticas para esto?

Aquí hay algunos patrones más para admirar. En cada caso, coloreamos los múltiplos de números no consecutivos. ¿Puedes decir qué números son estos y describir los patrones que surgen.

Residuo

Finalmente, si arreglamos un número k y asignamos colores a las celdas en función de su residuo con respecto a k, entonces todos los cuadrados pueden rellenarse. Por ejemplo, dejemos múltiplos de 5 en negro, números con un residuo 1 con respecto a 5 ser verde, números con un residuo 2 con respecto a 5 ser rojo, números con un residuo 3 con respecto a 5 ser púrpura y números con un residuo 4 con respecto a 5 ser amarillo. Se obtiene la siguiente cifra:

Conclusión

Hemos descubierto algunas de las simetrías que se esconden dentro de la tabla de multiplicación de enteros positivos. Es fácil crear estos patrones (por ejemplo, usando Excel) y todos pueden explicarse sin mucha dificultad usando la aritmética de números enteros y criterios de divisibilidad. Mostrar estas simetrías usando colores introduce una nueva faceta a las matemáticas. Estas imágenes y otras creadas de manera similar pueden atraer a los estudiantes de matemáticas y artes, y pueden conducir a nuevas colaboraciones. Como mínimo, tales imágenes pueden, esperamos, intrigar, sorprender e inspirar.

En el siguiente link podrás ver una aplicación desarrollada a partir de lo antes expuesto, un muy buen trabajo donde podrás explorar los patrones eligiendo los múltiplos y coloreando las tablas.

The Mathenæum

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Ernesto Mota
Nací en el d.f., sigo siendo defeño, hoy radico en la hermosa ciudad de Cuernavaca, Morelos, soy Ing. en Sistemas computacionales, con un posgrado en Tecnologías de información, Doctorando en ambientes virtuales de aprendizaje y realidad aumentada, Tecnólogo es mi categoría laboral, y mi linea de investigación es la realidad aumentada aplicada a nuevos entornos de aprendizaje.

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