A partir de hoy pide tu pizza siempre sin cortar (Parte 2)

Larry Carter y Stan Wagon realizaron una demostración visual por medio de disecciones que fue recogida en el libro Proofs without Words II, de Roger B. Nelsen, y que reproducimos aquí. Te dejamos que observes el diagrama y compruebes por tí mismo que efectivamente los trozos grises y blancos tienen la misma superficie total, viendo que los nuevos trozos más pequeños generados por Carter y Wagon mediante cortes de los anteriores se corresponden dos a dos en superficie.

El resultado del teorema de la pizza sigue siendo cierto para un número de cortes par mayor que 2, es decir, 4, 6, 8, etc., y por lo tanto, con un número de trozos de pizza mayor que 4 y múltiplo de 4, es decir, 8, 12, 16, etc.

Sin embargo, para 2 cortes, o un número impar de cortes el resultado no es cierto. Para 2 cortes se comprueba con facilidad. Considérese por ejemplo el siguiente corte.

Entonces puede razonarse fácilmente que los trozos oscuros ocupan más superficie que los claros. Para ello trazamos dos rectas paralelas a los cortes y que pasen por el centro (diámetros), y una recta más, paralela a uno de los diámetros y que está a la misma distancia de este que el corte paralelo (véase imagen), y nombramos las zonas que se generan como aparece en la imagen (mayúsculas para la zona oscura y minúsculas para la clara). Claramente E = a, F = b y G = e, pero para el resto la zona oscura (A + B + C + D) es mayor que la clara (c+d).

R. Mabry y P. Deiermann en 1995, dando respuesta al problema planteado por L. Carter, S. Wagon en Mathematics Magazine, demostraron que el resultado tampoco era cierto en el caso de un número impar de cortes. El ejemplo que utilizaron fue el siguiente. Consideraron los siguientes tres cortes del tipo anterior sobre una pizza, es decir, que pasan por un punto común P y el ángulo entre cortes consecutivos es siempre el mismo, es decir, 60º, y demostraron que la superficie de los trozos azules es mayor que la de los blancos.

Para ello, trazaron los ejes coordenados x e y (o lo que es lo mismo, dos diámetros perpendiculares), consideraron el punto P* intersección del eje x con uno de los cortes, y trasladaron los cortes al punto P*. Y consideraron el nuevo corte, en el que, como se ve en el esquema siguiente, los dos grupos de trozos de pizza, rojos y blancos, (peperoni y champiñones) tienen igual superficie en total.

Finalmente consideraron los dos esquemas juntos. Entonces, como las zonas rojas y blancas (en el segundo esquema) tienen la misma superficie, y la banda ABCD menos un pequeño triángulo equilátero, que se corresponde con zona azul en el diagrama original, es mayor que la banda A’B’C’D’ menos un pequeño triángulo equilátero, que se corresponde con la zona blanca en el diagrama original, se concluye que en el esquema inicial la zona azul tiene mayor superficie que la blanca.

La solución general al problema de la pizza es la siguiente, nombrada el teorema de la pizza de queso.

Teorema de la pizza de queso: Si O es el centro de la pizza, esta se divide en n cortes a la “manera usual”, generando 2n trozos de pizza que se dividirán en dos familias de n trozos, grises y blancos, alternando uno de cada familia. Entonces,

i) si n > 2 es par o el centro O está en uno de los cortes, la superficie total de las zonas grises y de las zonas blancas es la misma,

ii) si O está en el interior de una zona gris y n≡3 (mod.4), es decir, n es de la forma 4r+3, entonces la superficie de las zonas grises es mayor que la de las blancas,

iii) si O está en el interior de una zona gris y n≡1 (mod.4), es decir, n es de la forma 4s+1, entonces la superficie de las zonas grises es menor que la de las blancas.
Pero Mabry y Deiermann demuestran algunos otros resultados relacionados con el teorema de la pizza de queso, como por ejemplo, el teorema de la pizza de queso con borde grueso. Hay a personas a las que les gusta las pizzas con el borde grueso, y entonces nos podríamos plantear el problema de si se podría repartir los trozos de pizza de forma que también recibieran cada uno de los dos comensales la misma cantidad del borde grueso de la pizza.

El resultado demostrado por Mabry y Deiermann es el siguiente.

Teorema de la pizza de queso con borde grueso: Sea un pizza de queso con un borde grueso (de una anchura constante) a la que le hacemos n cortes (mayor que 2) al estilo del teorema de la pizza de queso, con el punto de corte P en la zona del queso, y consideramos los trozos de pizza de nuevo de forma alternada (grises y blancos). Para n impar, los trozos de pizza que den más superficie de queso darán menos superficie de borde, y para n par, la cantidad de pizza y de borde será la misma en ambos repartos de trozos (grises y blancos).

Pero el definitivo teorema de la pizza es el siguiente. Si consideramos que una pizza no es un círculo, sino un cilindro, entonces el volumen de la pizza, si tiene altura a y radio z, es igual a “pi z z a”.

(Nota: recordar que el volumen de un cilindro de radio r y altura h es π r2h = π r r h = pi r r h)


Al final de todo esto solo recuerda que lo más importante es: pedir tu pizza sin cortar.


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